CAPITULO II

CAPITULO II

La lógica formal.

I.— La lógica formal de Hamilton: exposición y crítica. II.— Lógica algorítmica. III.— Lógica formal de los modelos mecánicos.

La afición por los estudios de lógica en Inglaterra, por lo que se refiere al pasado siglo, puede decirse que empezó con la obra de Wathely. La labor de éste, juntamente con la nueva dirección metafísica que dieron á la filosofía las doctrinas de Hume y Kant, llamó la atención de los filósofos in gleses hacia esta disciplina que continuaba, á pesar de los esfuerzos de Bacon por restaurarla, casi en la misma forma en que la habia presentado Aristóteles.

Este doble influjo de Kant y David Hume determina á su vez dos direcciones distintas. De la teoría de Kant sobre las formas del pensamiento y la

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incognoscibilidad del noumenon deriva la lógica formal de Hamilton, Mansel y Thomson, y del empirismo exagerado de David Hume y las ideas positivistas de Comte la lógica inductiva ó material de Stuart Mili, Bain, etc.

Habremos, pues, de examinar separadamente estas dos direcciones de la lógica inglesa.

Aceptando la distinción kantiana de la materia y de la forma como factores distintos ó irreductibles del conocimiento, cree Hamilton que la lógica ha de limitarse al estudio de las leyes del pensamiento, sin preocuparse de la materia del conocimiento ni de la verdad ó falsedad del antecedente y consiguiente, ni de la verdad de las relaciones establecidas en la proposición, sino tan sólo de la forma de la idea, de lo expresado por la proposición y del enlace entre las premisas y la consecuencia.

No pertenece á la lógica el estudio de los medios conducentes á la adquisición de conocimientos verdaderos, ni tampoco se la puede llamar el arte de juzgar rectamente, sino que propiamente sólo lo incumbe el examen de nuestros conceptos y sus posibles relaciones, prescindiendo de que sean verdaderos ó falsos. Únicamente ha de aspirar á evitar la contradicción, de tal suerte que podrá asegurarnos la legitimidad de la consecuencia, pero

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no su valor en orden al conocimiento verdadero. Para la lógica formal, la verdad no significa la adecuación de nuestro pensamiento con el objeto, sino la conformidad de nuestro pensamiento con otro pensamiento anterior; es ia lógica, en una palabra, el estudio de la consecuencia sin ulteriores investigaciones sóbrela verdad de las premisas.

Limitado en esta forma el objeto de la lógica, esfuérzase Hamilton por desmenuzar el significado y contenido del concepto y de la proposición. Preocupado por In idea de que pensar es limitar el objeto (de aquí su teoría de lo condicionado), no ve en la noción otro aspecto que el cuantitativo; así que para él la noción representa, no la cualidad abstracta é independiente de lo individual, sino el atributo en que coinciden un conjunto de seres individuales.

Á esta propiedad del concepto cree que no se le ha dado en la lógica tradicional la importancia que merece, puesto que tan sólo la considera en uno de los elementos de la proposición, á saber, en el sujeto, mas no en el predicado. Para completarla ideó su famosa teoría de la cuantificación, según la cual, el sujeto y el predicado de toda proposición tienen una cantidad determinada, aunque las formas del lenguaje no la manifiesten de un modo explícito, sobre todo en lo que so refiere al predicado. En armonía con esta hipótesis, divide las proposiciones desde el punto de vista de la extensión en cuatro clases: 1^ Toto -totales, aquellas en que todo el sujeto es todo el atributo. Todo A es todo B.

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2.° Tolo-parciales, aquellas en que todo el sujeto es una parte del atributo. Todo A es algo B, 3.*" Parfi-totales, aquellas en que una parte del sujeto es todo el atributo. Algún A es todo B. 4."* Parti-pardales, aquellas en que una parte del sujeto es una parte del atributo. Algún A es algún B. Cada una de estas proposiciones puede ser, ya afirmativa, ya negativa.

Como las relaciones entre el sujeto y el predicado son de todo continente y determinante á partes contenidas y determinadas, es decir, relaciones de extensión, el razonamiento viene á ser en la lógica de Hamilton una función racional que se limita á establecer la identidad ó no identidad del todo con las partes. Si bien distingue los silogismos en extensión de los silogismos en comprensión, esta distinción la hace depender exclusivamente de que se traduzca el verbo ó cópula por las frases está contenido en, 6 contiene á, y se invierta el orden de las premisas. Así, por ejemplo: el silogismo en extensión: El hombre es mortal, quiere decir, hombre está contenido en mortal; Pedro es hombre, ó sea, Pedro está contenido en hombre; luego Pedro es mortal, ó sea Pedro está contenido en mortal, se traduce en comprensión del modo siguiente: Pedro es hombre, esto es, Pedro contiene á hombre; el hombre es mortal, ó sea hombre contiene á mortal; luego Pedro es mortal, es decir, Pedro contiene á mortal (1).

(1) Vid. Liard, Lcg logiciens anglais contemporains. 3.* edic. París, 1890, p. 67.

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tEl espíritu, escribe, no puede pensar dos nociones bajo la relación formal de razón y de consiguiente más que de una de estas dos maneras: ó bien la noción determinante debe ser concebida como un todo continente (y por ende necesitante) á la noción determinada, concebida como la parte 6 partes contenidas, 6 bien la noción determinante debe concebirse como las partes que constituyen (y por consiguiente necesitan) á la noción determinada, concebida como el todo constituido por ella> (1). Pueden señalarse, pues, dos maneras de razonar, ó bien la conclusión procede del todo á las partes, ó de las partes al todo; en el primer caso tendremos el razonamiento deductivo, y en el segundo la inducción. Pero adviértase que Hamilton sólo da valor lógico á la inducción en cuyas premisas so enumeran todas las partes ó todos ios casos posibles, y como esto no tiene lugar ni puede tenerlo en la inducción científica, resulta que dicha operación sale fuera de las leyes formales del pensamiento; en cambio, la inducción completa puede y debe expresarse en forma silogística, ya que entre el silogismo y la inducción no hay más diferencia que la de ser uno de los términos en la inducción, una enumeración de partes, y en el silogismo, un todo ó una parte.

Tal es la doctrina fundamental de la lógica de Hamilton. Prescindimos de algunas particularidades como el reducir las tres especies de conversión

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á una sola, ó las leyes del silogismo á esta regla general: «La más débil de las relaciones del sujeto y del predicado, que une, por lo menos una vez de un modo positivo, dos términos dados con un tercero, existe entre esos dos términos»; la división de los silogismos en figurados y no figurados (1)^ enumeración de los modos legítimos (2), etc., poi*- que todas estas reformas de la antigua analítica (así llama á la lógica tradicional), ó no tienen gran importancia, ó son consecuencias evidentes de la doctrina expuesta.

(1) Ap. Liard, ob. cit. p. 53.

Nos parece que Hamilton no estuvo muy acertado al señalar el objeto y precisar los límites de la lógica. El reducirla al estudio de la consecuencia vale tanto como esmerarse en señalar las condiciones, tamaño, forma, etc., que ha de reunir un instrumento, y pretender luego que sirva para su fin sin dotarlo de la materia en que tales condiciones se realicen. No se comprende una lógica que se cuide de la distribución y encadenamiento de las premisas, y prescinda del fin principal, á que naturalmente ha de dirigirse todo ese artificio

(1) Llama no figurados á aqueHos silogismos en que los términos comparados no están en la relación recíproca de sujeto y predicado (como sucede en los incluidos en las tres figuras de la lógica tradicional), sino que entran los dos en la misma proposición, bien como predicado, bien como sujeto. Ej.: AjB son iguales; B y C son iguales, luego A y C son iguales.

(2) Admite 108, 12 afirmativos y 24 negativos en cada figura.

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científico, es decir, la yerdad. ¿De qué nos servirla haber razonado con admirable sutileza y con un rigor intachable en cuanto á la forma, si nuestras conclusiones resultaban en contradicción con la realidad ó absolutamente falsas? Y esto puede ocurrir con una lógica formal entendida á lo Hamilton, porque es indudable que de premisas verdaderas en buena deducción no puede resultar una conclusión falsa; pero si las premisas son falsas, por escrupulosas que sean las reglas de la lógica formal, no llegan á impedir que la conclusión pueda ser falsa también.

Como dice perfectamente St. Mili (1) discutiendo estas ideas de Hamilton: <^Los conceptos, los juicios, los raciocinios han de coincidir ó conformarso con la realidad de las cosas, esto es, con los fenómenos ó representaciones sensibles á que se refieren... La cualidad más importante, y en el fondo la única importante de un pensamiento, es la verdad; es preciso, por lo tanto, que las leyes ó preceptos que se indiquen para dirigirlo, tengan como fin principal asegurar la verdad do los productos del pensamiento».

No se entienda que por eso condenamos en absoluto la lógica formal; reconocemos que puede sernos útil, ya para ordenar nuestros conocimientos, ya para evitar la inconsecuencia y la contradicción, ya también para conocer la estructura

(1) La philosophie de Hamilton.- rrad. de E. Cazelles.- París, 1869, p. 445.

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interna de nuestros razonamientos; pero á condición de que no se la declare desligada de su fin principal y más interesante, á saber, la adquisición de la verdad real.

Otra de las reformas de más trascendencia que Hamilton introduce en la lógica es la cuantificación del predicado. El fundamento de esta doctrina no es otro que el considerar la proposición como la expresión de relaciones de todo continente á partes contenidas, es decir, que ha de interpretarse en sentido de la extensión.

Ahora bien, nada hay que justifique tal interpretación. Toda proposición, lejos de ser un juicio en extensión, una clasificación, supone necesariamente un juicio en comprensión, y sin ésta la clasificación sería imposible. Y esto es muy evidente. En tanto podemos decir que una propiedad ó atributo puede convenir á varios individuos ó sujetos, lo cual es necesario para la extensión ó universalidad del concepto, en cuanto que hemos averiguado por análisis que las notas ó elementos de esa propiedad (comprensión) se hallan efectivamente en esos individuos. Lo contrario equivaldría á decir que puede hacerse una clasificación sin conocer los objetos que se van á clasificar; y sabido es cuántas investigaciones, qué examen tan minucioso y qué conocimiento tan cabal del objeto ha de tener el naturalista antes de incluirlo en un determuiado grupo. El juicio en comprensión precede, pues, indefectiblemente al juicio en extensión. *Hay en toda proposición, escribe St. Mili, un jui-

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cío que se refiere á los atributos (llamado por Hamilton juicio en comprensión) que formulamos ordinariamente, y un juicio posible en extensión ó que se refiere á la extensión que podemos darle, el cual será verdadero si el primero lo es también» (1).

Y lo que decimos del juicio conviene igualmente á la noción. Lo primero que en ésta pensamos son sus notas, su comprensión, y sólo por un acto subsiguiente de reflexión, advertimos la posibilidad de que se aplique á varios individuos. Esta verdad psicológica expresa cumplidamente la distinción escolástica del universal en directo y reflejo, de primera y segunda intención.

Por eso no ha de extrañarnos que la lógica tradicional no haya dado ala extensión la importancia exagerada que le da Hamilton, aun cuando debemos advertir que la ha tenido presente no sólo en lo que se refiere al sujeto, sino también en lo que se refiere al predicado. Más todavía: creemos que las reformas de Hamilton, á pesar de que con ellas esperaba facilitar mucho las operaciones lógicas (2), complican el problema á resolver, sin que por ello sea más segura la solución. Con la cuantificación del predicado es quizá más difícil seguir el encadenamiento de las ideas á través de

(1) Ob. cit., p. 476.

(2) Nada menos que á diez y ocho alcanza el numero de reiormas que Hamilton hace derivar de su famosa teoría de la cuantificación del predicado. Vid. Discussion, appendix, p. 650-51. Ap. bt. Mill.,ob. cit ,p. 482.

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los símbolos, que si se interpretan las premisas en la forma corriente. Sea este silogismo de primera figura con la mayor particular: Algunos vivientes son racionales, todas las plantas son vivientes; luego algunas plantas son racionales. Es indudable que la conclusión os ilegítima porque los vivientes á quienes se atribuye la racionalidad pueden ser distintos de aquellos á quienes tan sólo conviene la vida vegetativa.

Cuantificando el predicado tendremos: Algunos vivientes son algunos racionales. Todas las plantas son algunos vivientes; luego algunas plantas son algunos racionales. ¿Se ha aclarado por ello la conclusión? Precisamente ocurre lo contrario, porque con la cuantificación se da la misma forma de expresión al término medio, contribuyendo porello á que se le suponga de contenido igua-1 en las dos premisas.

Y no se me arguya que facilita á la lógica tradicional el que se vea inmediatamente la infracción de la ley Aut semel, aut iterum, etc., porque ésta autoriza los silogismos aun siendo el término medio particular en ambas premisas, con tal que represente en los dos á los mismos individuos. Concluiremos, pues, con St. Mili q-e .la utilidad de las Puevas formas del silogismo no puede compensar la grave complicación que introducen en la teoría silogística; complicación que la haría al propiotiempo difícil de aprenderyconservar en la meniona, y muy enojosa para poderla utilizar... Las nuevas formas no facilitan en modo alguno la ope-

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ración; por el contrario, se hacen acreedoras, con mayor motivo que las formas comunes, á la acusación de apartar el espíritu del verdadero sentido de las proposiciones, y concentrarlo en la consideración muy artificial, y ordinariamente poco importante, de la relación de extensión entre géneros de objetos considerados no separadamente, sino como todos colectivos... En una palabra, hay que tratarlas como Hamilton trata las formas de silogismos «numéricamente definidos» de Morgan, y decir que «la lógica las considera (jomo formas auténticas, pero hay que abandonarlas en la práctica por su poca utilidad y porque recargan la ciencia con una cantidad de palabras superfluas» (1).

(1) Ob. oit.,p.493.

Al reducir Hamilton las operaciones lógicas á meras relaciones cuantitativas, suprimiendo el elemento cualitativo que, como hemos demostrado constituye la base principal de nuestras ideas y razonamientos, surgía con nuevo impulso el problema de las analogías, que ya habían vislumbrado Leibniz, Lambert y Segner, entre las operaciones de la lógica y de las matemáticas. Por este motivo no se hicieron esperar las tentativas para introducir en la lógica un simbolismo semejante al empleado en la expresión de las operaciones algebraicas. A ello les animaba también la esperanza de que por ese medio no sólo ganaría en exactitud la descripción del mecanismo de la inteligencia en sus razonamientos, sino que también habría de facilitarse en grado sumo la solución de los problemas lógicos.

Pero no todos han entendido de la misma manera esas aproximaciones entre la lógica y las mate-

Trut '''' ''''"''' ^««*^' h«" "egado á considedr Ja lógica como un caso particular del cálculo

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algebraico y por ende como ciencia tributaria del álgebra; otros, por el contrario, reconocen la supremacía de la lógica y afirman que á ella corresponde regular el proceso de las demostraciones algebraicas (1).

Prescindiendo de toda clase de pormenores y de variantes con que se ha hecho la aplicación de los símbolos matemáticos á las operaciones lógicas, me fijaré exclusivamente en las líneas generales de esa labor inspirada por la cuantificación del predicado. Las operaciones que tales lógicos (2) distinguen, por lo que se refiere á los conceptos, son tres: determinación.suma y negación de los mismos.y se corresponden con las operaciones algebraicas, adición

y multiplicación, porque así como éstas representan las relaciones de la cantidad, así también las operaciones lógicas designan las relaciones de conceptos. Si á esto se añade que el concepto ha de conservar siempre el mismo valor, de otra suerte sería imposible toda inferencia, se verá que no hay inconveniente en representarlo por símbolos matemáticos (3).

(1) UM tendencia semejante se descubre en la .'enominada iónica matemática. Esta, como dice G. Peano, en su f 7^/; ^f'^; 'matiques, tomo VII, 1901, pAg. 169, es la ciencia que tra^a de as ^or^ mas del razonamiento que se encuentran en las varias t^oms ma temáticas, reduciéndolas á fórmulas semejantes á las algebr^i^^ • Vid. A. Pastore en su libro Sopra la teoría della sctcwza.-ionr ,

T; Tna^'lf dLcidn bibliográfica muy abundante se encuentra en la obra deleitado A. Pastore, p. U-^f>, Lógica fórmale, etc.

Torino, 1906. .^««a iájiVas á

(8) Adviértase que esta reducción de las operaciones lógicas

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Por análogo procedimiento reducen á operaciones matemáticas las múltiples formas de la deducción, aun cuando resulta en este caso una mayor complicación, debida á la especial subordinación de los juicios entre sí para poder inferir la consecuencia. La labor de la lógica algorítmica sobre este punto comprende dos cosas: 1.* Averiguar la dependencia de las formas de conexiones predicativas de la conclusión respecto de las conexiones predicativas de las premisas. 2.* Extender los métodos de descomposición y eliminación valederos para un solo juicio á una pluralidad de juicios enlazados por conceptos comunes.

Á primera vista se comprende que, de entre las varias operaciones del álgebra, ninguna se parece tanto al proceso del raciocinio lógico como las que se refieren á la solución de un sistema de ecuaciones; porque convertida la proposición en enunciado de relaciones cuantitativas, el antecedente de todo raciocinio puede considerarse como dos ecuaciones íntimamente relacionadas entre sí, y si se las somete al procedimiento de sustitución, darán una tercera igualdad á modo de consiguiente lógico. Así el razonamiento lógico viene á ser un problema de sustitución algebraica, y en la fórmula del

las algebraicas no es tan perfecta que se llegue hasta el extremo de poder aplicar á las primeras todos los axiomas algebraicos. Así en álgebra es evidente que si x =y, también x + z = y + ;?, y recíprocamente, Bix + z^y + z^ también £c = y. En la suma de conceptos, aun cuando resuUe esta ecuación x -f z = y + z, no puede decirse que necesariamente será x = y.-Ap. Wundt, Logik, vol. I. Stuttgart 1893,2.*edlc.,p.284.

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silogismo aristolélico (1." fig.) M = P,S=M, sustituyendo en la primera igualdad á M por S tendremos la conclusión S = P.

Para los casos de deducción tan sencillos como el anterior basta la aplicación del principio de identidad. Este, juntamente con el principio de contradicción y la ley de dualidad (todo sujeto debe poseer un atributo ó no poseerlo), permiten ampliar el poder de la deducción á operaciones más complicadas que no pueden hacerse por el silogismo aristotélico.

Adviértase que no todos los axiomas algebraicos tienen exacta aplicación en las operaciones lógicas. Como dice Wundt: «Son aplicables á la lógica los axiomas positivos del álgebra... y no obstante de que dos cantidades den la misma ó el mismo producto con una tercera nopuede deducirse en las ecuaciones lógicas que sean iguales entre sh (1).

Tal es la idea fundamental de la lógica algorítmica, y renunciamos á entrar en más pormenores porque parece salirse del terreno de la especulación filosófica. Uno de sus más prestigiosos cultivadores, Boole, dice terminantemente que considera á la lógica como una rama de las matemáticas; y con razón, puesto que se limita á aplicar las operaciones algebraicas á dicha ciencia partiendo de la hipótesis que toda noción ó concepto no puede tener sino valor cero ó valor uno. Más que al afán de dar una nueva dirección á esta discipliiui

(1) Loo. oit.

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han obedecido sus autores á un capricho de gimnasia matemática; pues no se trata de dar una mejor explicación de las operaciones lógicas, ni una teoría más completa del raciocinio, ni de enriquecer con atinadas observaciones el conjunto de las reglas cuyo cumplimiento pueda asegurárnosla adquisición de la verdad y evitar el error, sino que tomando por base el aspecto formal de la lógica, se han empeñado en someter sus procedimientos y operaciones á los procedimientos y operaciones de la matemática.

Tal empresa nos parece imposible.

Los conceptos de la inteligencia en las especulaciones complicadas no se ofrecen de ordinario con bien definidos contornos, ni con un significado preciso; van poco á poco esclareciéndose y modificándose de mil maneras distintas, tomando nuevos matices y variadas formas, todo lo cual impide que se los someta á las fórmulas rígidas, inflexibles é invariables de la matemática. No hay ni puede haber para la expresión de nuestra vida racional, esencialment e progresiva y que evoluciona sin cesar, un sistema de signos inventados caprichosamente y con la pretensión de que sirvan para todas las generaciones y para todos los individuos. Tal pretensión equivaldría á someter á formas geométricas el crecimiento corpóreo para conseguir su regularidad y simetría, cuando en realidad, si esto fuera posible, ó bien el cuerpo no se acomodaría á nuestro plan, ó si le obligáraflios violentamente habríamos acabado con su pro-

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pió desarrollo. Por otra parte, es indudable que para la especulación necesitamos que el valor de los signos de las ideas, si bien no ha de alterarse constantemente, tenga la suficiente flexibilidad para acomodarse á los cambios y evoluciones de nuestra vida mental, guardando al propio tiempo un cierto grado de estabilidad y permanencia.

Ahora bien, estas dos circunstancias de mutabilidad y permanencia, en armonía con nuestra vida, que cambia y permanece al propio tiempo, se dan por modo admirable en la palabra. «Las palabras, dice Wundt, son símbolos del concepto, sobre cuyo significado ordinariamente no puede haber duda, puesto que lo determina el uso constante, una de las influencias más poderosas á que está sometido el espíritu humano. Poseen, por consiguiente, tales signos los caracteres de constancia y determinación, y en un grado superior. Pero tienen además en su favor una circunstancia especial, á saber, que la palabra, á pesar de todo eso, no es absolutamente inmutable en su significado, sino que merced al proceso de diferenciación y condensación de las representaciones, se amolda á las variables necesidades del pensamiento. Precisamente, esta última cualidad, que la constancia de la palabra en el significado del concepto no es absoluta, hace imposible que se pueda prescindir de ella como auxiliar, ni en aquellos dominios del pensamiento en los que empleamos otros signos artificiales» (1).

(1) Ob. oit,p.846.

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Sin la palabra no se comprende el progreso de los signos matemáticos.

La lógica algorítmica se ha fijado principalmente en el aspecto cuantitativo de las nociones y en el valor positivo y negativo de los juicios, pues no es fácil someter á signos tan sencillos y uniformes como los matemáticos las múltiples ideas y relaciones que por los actos mentales concebimos. Además, como ya he advertido, nuestros juicios implican de un modo primordial y directo relaciones de comprensión, y éstas son base y fundamento de las relaciones de extensión. A lo sumo, la lógica algorítmica podrá ser un ensayo de ingenio, una curiosidad científica, pero sin finalidad práctica (1); y si nadie, que sepamos, se ha decidido á emplearla en sus investigaciones, mucho menos podrá esperarse que sustituya á la lógica tradicional (2).

(1) Exige gran caudal de conocimientos matemáticos. Los trabajos de exposición que se han hecho son oscuros y complicados. Spencer, cuyo dominio de las ciencias matemáticas nadie pondrá en duda, tratando de este asunto, dice: «Tomo de St. Mili una exposición compendiosa, porque el trabajo del profesor Morgan está tan enmarañado de pormenores y de signos, que no puedo extractar nada breve ni completo».— Principes de PsychoL, trad. de Ribot y Espinas, t II, p. 89.

(2) Al examinar Guillermo Wundt los procedimientos que señala Boole para resolver una conclusión en un sistema de ecuaciones, termina con estas palabras: «Estos ejemplos demuestran suficientemente que pueden presentarse cuestiones cuya solución sería oscura por el procedimiento silogístico ordinario, y se consigue fácilmente por el procedimiento algorítmico. Sin embargo, es preciso reconocer que tales cuestiones son completamente artificiosas, y no corresponden á los casos reales de las aplicaciones cien tíficas».— Obra cit., p. 397.

Sugestionado por la teoría de los modelos que desarrolló Hertz (1) en el campo de la mecánica racional, ha concebido A. Pastore (2) el proyecto de estudiar las ideas fundamentales de la ciencia humana, con el objeto de hacer ver su equivalencia y la posibilidad de hallar una explicación común para los problemas lógicos, matemáticos y físicos. En vez de las aspiraciones hacia lo absoluto que concibieron los idealistas, habrán de dirigirse las investigaciones de la ciencia y de la filosofía á encontrar una fórmula que exprese la máxima relación posible de las relaciones, y por ende capaz de ser aplicada aun á los hechos más diversos y á las más opuestas relaciones. El ideal de la ciencia, como él dice, no debe ser ya lo absoluto, sino il relativissimo.

(1) En su obra: Dic prinzipien der Mechanik in neuen Zusammenhang dargestellt —Leipzig, 1894.

(2) Tal es el objeto de su obra Sopra la teoría delta scienza — ToriDo, 1903.

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Intentaré resumir la demostración que da Pastore de esta nueva manera de concebir la unidad de las ciencias.

Estas pueden reducirse á tres grupos: lógica (gramática, lógica general), matemática (aritmética, geometría), física (física matemática, mecánica racional). Ahora bien, las ideas primitivas 6 fundamentales de todas esas ciencias, los axiomas que les sirven de base para sus demostraciones y las teorías con que pretende explicar cada una los hechos ó cuestiones de su incumbencia, guardan entre sí tales analogías y semejanzas que bien puede afirmarse la equivalencia y la absoluta convertibilidad de las doctrinas lógicas, matemáticas y físicas.

Sin entrar en pormenores acerca de la reducción y análisis de las ideas primitivas que, á juicio de Pastore, son conceptos fundamentales no definidos, pero que se aceptan generalmente sin discusión y constituyen la base inconsciente de todos los postulados y teorías, me limito á copiar la tabla esquemática de todas ellas:

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Haciéndose cargo de las discusiones sobre el origen y carácter de la universalidad y necesidad de los axiomas matemáticos, y teniendo en cuenta las nuevas concepciones de la geometría, infiere Pastore que los únicos axiomas indiscutibles y de absoluta aplicación para todas las ciencias son los de identidad, contradicción y el de la consecuencia modal (lo que se dice de lo universal se aplica también á lo particular). Por consiguiente, este análisis de los axiomas científicos constituye una mera demostración de su tesis sobre la unidad de las ciencias.

La misma conclusión se obtiene examinando las teorías lógicas, matemáticas y físicas, puesto que el procedimiento de las ciencias experimentales, nos dice, se puede aplicar perfectamente aun á las ciencias más abstractas. «Nos aproximamos á una época en la cual el significado de la experiencia se extiende á un campo que antes se consideraba como prohibido para ella. La experimentación tiene cabida lo mismo en los hechos y con los hechos de naturaleza física, que en los hechos y con los hechos de naturaleza eminentemente intelectual» (1). A la manera que por necesidades de precisión y claridad, cuando no podemos representarnos un cierto orden de hechos físicos con un aparato ó instrumento técnico, recurrimos á una representación simplificada, pero de carácter puramente intelectual (á la cual denominamos modelo)^ así tam-

(1) Ob. cit., p. 167.

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bien no habrá dificultad en seguir análogo procedimiento para la explicación y solución de los problemas matemáticos y lógicos.

En lugar de las ecuaciones, que son como el aparato algebraico, podría utilizarse con igual derecho, con el mismo rigor lógico y con la misma utilidad un mecanismo material, ó aparato convenientemente dispuesto.

Como una prueba inequívoca de esta posibilidad, ha ideado Pastore un mecanismo lógico que considera muy útil, no sólo como medio de demostración de las teorías lógicas, sino también como medio de investigación. Tal es el argumento de su libro Lógica fórmale dedotta dalla considerazione di modelli meccanici (Tormo, 1906).

Fundándose en el empleo que hace de la técnica mecánica para esclarecer las cuestiones de la lógica formal, se cree autorizado á darle el nombre de lógica experimental. «Su objeto es el estudio de las formas primitivas y derivadas del pensamiento en cuanto que, en sí y en sus relaciones y operaciones , vienen representadas exteriormente por medio de cuerpos en movimiento. Á estos cuerpos en movimiento y sus sistemas ó combinaciones les da el nombre de modelos mscánicos de los fenómenos lógicos, 6 más brevemente modelos ideo f isicos^ (1).

Antes de describir estos modelos indicaremos las ideas principales de Pastore sobre la lógica formal.

(1) Ob. oit.,p. 86.

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Llevado de sus afanes de reducción y simplificación, considera los tres principios de identidad, contradicción y teriii exclusi como expresiones dis tintas de la ley de sustitución ctmntitativa de lo idéntico, formulada en estos términos: «las cantidades lógicas idénticas pueden sustituirse»; y el principio de razón suficiente ó de la dependencia de las nociones se reducen al principio de la sustitución cualitativa: «lo que es idéntico cuahtati vamente es sustituible lógicamente». Esta ley de la sustitución cuantitativa y cualitativa se aplica igualmente á la lógica formal que á la material. El principio en que se apoya esta última es el de la definición. Ahora bien, ésta tiene por objeto resolver una ecuación en la que el primer miembro x «definiendo o sostituendo» ha de sustituirse por otro «definiente o sostituto» que tenga un valor y significado conocidos. Es, pues, un caso de sustitución.

Las propiedades primitivas de las ideas se reducen á dos: la propiedad de ser clase y la de ser individuo; de manera que toda clase lógica se puede considerar como un individuo (en relación con otra clase más universal que la comprende) y todo individuo lógico se puede considerar como una clase (sistema de elementos reunidos en cierto orden). Las relaciones entre las ideas son de afirmación 6 inclusión y de negación ó exclusión.

El problema lógico del raciocinio, según Pastore, puede plantearse en estos términos: «Dadas ciertas condiciones lógicas de cuantidad (univer-

80 Gómez Izquierdo.

sal, particular) y de cualidad (afirmativa, negativa):

aj ya bajo la forma de términos singulares {conceptos);

bj ya bajo la forma de una serie de términos (juicios, raciocinios de 1, 2, 3 n términos medios), determinar las condiciones de cuantidad y cualidad de una clase cualquiera de términos que pueda servir de conclusión lógica de las premisas {esto es, que pueda estar de acuerdo con las premisas), según las leyes generales del pensamiento» (1).

Toda esta doctrina de las ideas y sus relaciones aparecen representadas en el modelo ideofísico de Pastore. La parte que podríamos llamar fundamental del aparato son dos ruedas concéntricas de distinto radio, unidas por un eje cilindrico, alrededor del cual pueden girar en el mismo sentido ó «n sentido inverso. La mayor representa la idea universal y la menor la idea particular.

Para simbolizar la relación entre las ideas y las varias formas del raciocinio es necesario establecer la comunicación de fuerzas entre una serie de ruedas sucesivas. La correa sin fin que une á las ruedas desempeña perfectamente esta función, y comparando la relación afirmativa con el caso de las ruedas girando en el mismo sentido y la negntiva con el caso de las ruedas moviéndose simultáneamente en sentido contrario, «se llega á iudi-

(1) Lógica fórmale^ p. 176,

Nuevas direcciones de la lógica, 81

car con un solo modelo de la rotación de los cuerpos físicos el doble carácter afirmativo y negativo de los cuerpos lógicos» (1).

Esta máquina lógica se va complicando y recibiendo nuevas combinaciones hasta poder representar no sólo los casos de equivalencia, exclusión, subordinación, interferencia y coordinación de las ideas y proposiciones, sino también las distintas clases de juicios y raciocinios. El ingenio de Pastore llega á la construcción de modelos que, con su funcionamiento, además de representar todos los casos posibles de cantidad y cualidad de las premisas y la conclusión, sirven para comprobar las ocho reglas del silogismo, qué modos son legítimos y cuáles no en cada una de las figuras, y todo esto «con una regularidad y una precisión «lue supera á veces la sutileza del argumentar» (2).

Tan encariñado está con su teoría de los modelos, que los ha construido para el polisilogismo de cuatro y más términos, y para el sorites aristotélico y goclénico. Hasta cree que pueden ser muy útiles para el examen de cuestiones que no están todavía resueltas.

Es muy laudable y de positivos resultados el esfuerzo de la razón por unificar en lo posible los diversos conocimientos que constituyen las cien-

(1) Ob. cit., p. 144. <2) Ibid.,p. 198,

1 1

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cias; pero tal aspiración tiene sus límites y condiciones. Si por un lado es ley fundamentalísima del conocimiento generalizar, abstraer de lo menudo, variado y heterogéneo que nos ofrece la experiencia sensible, lo absoluto y universal como alimento necesario para la vida científica, es también indispensable que la generalización no pierda de vista los hechos particulares, pues sólo así podrán luego interpretarse ó explicarse los hechos por los principios.

Indudablemente que por la generalización so logra reducir y simplificar las ideas heterogéneas y complicadas, como Balmes demuestra en su Filosofía fundamental; pero esa reducción y simplificación se logra á expensas de su contenido material, y, por consiguiente, á medida que va aquélla creciendo, crece también la indeterminación. No es la reducción que se obtiene de los hechos por los principios universales, como la geométrica, que conserva intactas la proporción en las líneas y la figura, ni tampoco puede compararse con la labor de miniatura que, en medio de su pequenez espacial, ofrece los pormenores del objeto, su colorido, expresión, actitud, etc, sino que necesita prescindir de toda singularidad para reflejar tan sólo las notas comunes.

En estas condiciones las ideas primitivas, los primeros principios, aun dando como buena la clasificación establecida por Pastore, serán, si se quiere, los últimos sillares de toda nuestra construcción científica, pero jamás podrán reemplazar

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á aquellos en que se apoyan de un modo directo é inmediato las peculiares conclusiones de cada ciencia. Su análisis y el estudio de las relaciones constituirá una ciencia especial, la Metafísica, son el necesario fundamento del saber; mas no hav razón alguna que autorice á confundir en una misma fórmula y someter á iguales procedimientos todas las ciencias. Como no puede sustituir el estudio del terreno en que está emplazada una ciudad á la observación de las cualidades arquitectónicas de los edificios que la componen, así tampoco la afinidad de las ideas primitivas, la reducción de los primeros principios á uno solo puede aconsejar la sustitución de las ciencias particulares por una metafísica sui generis, según pretende Pastore con su nueva teoría de la ciencia

<Es lógico concluir, escribe en presencia de su

tabla esquemática de las ideas primitivas, que si á

odoslos términos de la primera categoría (distin-

te en re sí tan sólo nominalmente) conviniera, por

(también dis intos entre sí tan sólo nominalmente) conviniera el signo y, con la fórmula única xy podadaTnr^'''"' cómodamente todas las copias Xa V ^n?™''^'"' ^"'^^"^ de este hecho: l.o, la PdmiL i"" 1 ^^^^^^«bilidad de las varias ideas

(1) Vid. Teoría della scienza, p. 73.

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84 Gómez Izquierdo.

He traducido literalmente este pasaje porque lo considero como la expresión más escueta del pensamiento de Pastore, y porque, á mi juicio, pone de relieve el carácter artificioso y arbitrario en demasía de la construcción de Pastore. Pocos lectores llegarán á convencerse, aun cuando al autor le parezca muy lógica esa conclusión, de que el espacio y la idea, la masa y el nombre gramatical son conceptos de igual contenido y representación para otorgarles el mismo valor y aplicarles el mismo signo de expresión. Todavía resulta más inconcebible suponer que el análisis de todas esas ideas ha de darnos idénticas relí^ciones, pudiendo expresarse todas ellas por una sola fórmula.

Pasemos ahora á la teoría de los modelos, que en el pensamiento de Pastore es una consecuencia de sus doctrinas sobre la ciencia.