Unidad 10 · PITIPIÉ S.

PITIPIÉ S.

A. Geometría entiende en la dimenfion , I rcfpeto de Lis lineas , fuperficlcsj i cuerpos 3 pero como los puntos Mathematicos de que fe forma la linea fe fuponen indiviíiblcs, i la linea el flujo de un punto fía latitud, la linea fe mide por lineas , como la fuperficie por fuperfíciesj i el cuerpo, o folido, por folidos. Afsi vemos, que para explicar la folidez de un cubo de á palmo por lado, decimos, que el palmo tiene 12. dedos de longitud , la fuperficie de un palmo 144. dedos cuadrados, ó fuperficiales, i la folidez 1728. dedos cúbicos, ó foliaos de á dedo por lado. De que fe colige , fer prcciíTo para el conocimiento , i dcmcnfion de lis lineas, ufar de menores lineas , que las midan i i como ya dige, defde la invención de la Geomctria fe miden las leguas por palTosjlos palTos por pies , i eftos por palmos, dedos, grano?, cerdas.

f 40 De aquí nace el ufo de el Pitipié (vulgarmente Efcala) que es el q dii arbitrio para tener dividida, ó dividir una linea en cualefquiera mínimas partes. El mas ufual, i común (a excepción de los que llevan los mapas, que fon de la fimple diviííon que exprcfsá) es el figuiente; que fupone dividido el palmo Valeaciano en 1200. partes, i por configuiente el dedo en 100. partes , i los 4.dedos en 400. Hecho un cuadrilátero de proporcionada latitud, i de la longitud que fe quiera , como la de 4. dedos propueftaj dividido uno de ellos AB , i CD, en lo. partes, i la AC con fu correfpoadieate ea otras *o. tireu*

54' C8o.ío.4o.io.D

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fe las tranfverfales , defde la primera parte I hafta D, I luego defde la fegunda á la primera, de la tercera á la fegunda^&c.como íe vé, I las paralelas á la AB, CD, alargadas) i queda formado el pitipié.

Para tomar cualefqulera partes con el compás, v.g. 3^8. fubo por la perpendicular 300.I por la tranfverfal 6. 1 a\a. oftava paralela, que la corta, ella mifma da la longitud que fe bufca. SI fe pidieren mas partes del palmo, como 768. añado el intervalo C 300. que fon 40o.partes , 6 4. dedos. Sí fe da la abertura de compás, i fe duda qué partes tiene, fe vá bajando orlzontalmente por las paralelas,corriendo una punta por las perpendiculares, 1 fe advierte á que tranfverfal fe ajufta : lo que parece no nccefsltar de mas explicación , por fer tan fácil en la praftica.

5"4i Otro pitipié menos ufado, pero de mayor conveniencia, fera el que fe forme con el mifmo egcmplo de los ^.áedos , divididos en 400.partes , como fe vé. Divjdafc la AB en 4. partes si <lefde B tirenfe por ellas 4. porciones de circulo de iguaj dlftancia de ella. Bivídafc cada porción de arco en 10. partes , tirenfe h- ' neas

PracticaV 2 y

neas al centro , folo de un arco á ©tro ; I dlvldafe cada colateral. Inclinada también en lo. partes. Tirenfe aora alrernativan:ente (de o á i. de i.a 2. de i.á 3. de un lado a otro) porciones de arcos, bufcando fus centros j i pueílos números quedará formado el pitipié ; el cual lleva la comodidad , cjue cualquiera abertura de ccmpás, pucfta una punta en Bj va la otra á cruzar las partesj como v.g. 368. llega Cobre el 300. al 6. i corta la odava linea j lo cual tampoco pide mas explicación,

f. II. M./.

Delinear.

J41 ''IT'Irar una ferpendicular^ a

dividiendo una reBa en dos partes iguales. De los eftremos AB de la linca , tiro dos periferias CD arriba, i abajo , i uniendo fus decufaclones cae la perpendicular CD , que f

divide la linea en dos partes. >^

5*43 Tirar una perpendicular a tm c>/-

lado. Con cualquier intervalo AB , ti- s

radas dos periferias en C-, tiro otra pe-

riferia defde C en D, i alargo AC en ^ B

D: de la intcrfeccion D, bajará laper- J^i

pendicular que fe pide á B. ■~i'"\-\-"^aBís,

.5^44 Tirar una perpendicular de un , jL ^

púnfo dado. Puefta la punta del com- ^''•.. i. J^""

pás en el punto dado A , que corte la j ^

orizontal, tiro las fecclones CD, i dcf- .!../»

de ellas otras en E,la AE ferá perpendicular -, ó bien dividiendo la CD en dos partes Iguales, la AE ferá perpendicular. Si fe pidiere con abertura de compás menor que la difíancia AV , tircfe con la abertura dada una paralela á la CD, i en ella defde A dos cortes; hagafe defde ellos la decufacion que media , i defde ella dos cortes en la orizontal dada , defde los cuales íc luirá bajo otra decufacion , i por días caerá la perpendicular.

5*4 f Tirar una. paralela. Con cual- . .,.,^.. 1 ■ ■ -^ — quier abertura tiro los dos arcos; i por j lo mas convexo paflarA AB paralela; , i . , .,

26 Geometría

^ levanto dos perpcndicu!ares en CD por el modo dicho, (43) i con cualefquiera cquidlftancias íe liaran feccioncs en A , i en B , por las cuales palTará la paralela.

^4.6 Tirar una paralela por unpun~

to dado. Del punto dado A, tiro cual-

■ cij**^-^' quiera linca oblicua, que llegue a la li-

..••'*Cp "^«^ orizootal , i fea AB ; defde elfos

'jg' putos tiro los arcos C,iP iguales,! paf-

fara la paralela por C, i por A.

5^47 Tirar un ángulo igual a otro dado [obre una linea defde un punto dado. El ángulo es B , la linea DQ, i el punto D. Tiro un arco P en B , i fu igual QR ; la DE formará el ángulo EDQ^, igual al ángulo B.

f48 Dividir una re&a en cualefquiera partes, con una abertura de com~ pas dada. A la reda AI , tirada con cualquier ángulo iaclinado la linea CF indefinida , con qualquier abertura tirenfe defde C otros tantos interi t^^' valos como partes ha de tener la divi-

••^ íion : tire fe FA , i á ella paralelas ácC-

de cada punto , I dividirán la AB. Lo mifmo fe hará, íí tirando otra linea AX, que haga £(,-» meiante ángulo, fe paífan defde A las partes , i fe tiran lineas de corte á corte. Puede tenerfe un plano con diferentes linpas paralelas , v.g. 10. i tomada la abertura de la linea que fe quiera dividir , v.g. en é. partes, puefta !a punta en el eftremo de la primera linea , i la otra ajuftada á !a feptima , darán las intermedias la divi-

ííon.

f 49 Hallar una media proporcio-

y* """^^ «^^ entre dos limas. Pucftas en linea

f 7\ las enrremas AB, BX, i hecho un femi-

/ I \ circulo, es media la perpendicular á la

■JT B A unión PB.

^jo Hallar doí medias proporcionak¡. Sean las cftremas DA, DB, pucf-

tas

y'A

tas en ángulo r-'ño , hecho un par^- Iclogramo D A C B , i defcrito un circulo , alargo SB, i C3 5 i puerto al regla junto á D, bufeo que 3Q^, DS, fean Iguales j entonces BS, A3, ferán medias proporcionadas entre DB, DA.

f j I Hallar tercera^t cuarta proporcionales. Hacefe un cualquiera ángulo , i ponefe primera, i fegunda , i con la fegunda en O, fe tira la paralela, que es tercera, i con ella en Cjia cuarta, i afsi de las demás.

^52 Dividir dos lineas , de modo que les cuatro fe gment os fean cuatro lineas continuas proporcionales. Sean las lineas dadas AB,BC, puertas en ángulo redo, i tirada AC ; de donde corta el arco hecho con la metad AB, en D, tlrenfe paralelas DF, DE , i cortarán las lineas, como fe piden, i ferán proporcionales CE, FB, EB, FA.

55'3 Dividir una linea en media, i ejlrenaa rax.on : erto es, que toda á una parte, fea como la una parte á la otra. Sea la linea ABG. Haccfc un cuadrado fobre ella , i partido el lado en C, fe eftiendc C A en CE. Sobre GE fe hace un cuadrado que divide en F, como fe pide , la GI, que es la mifma, que B,G, en media, i ertrema razón.

^J4 Dadas dos realas inclinada, hallar el punto del concuyfo. Las inclinadas fon CA, DB. Del punto D tirada una linea con cualquier ángulo ázia la inclinación de las lineas, pongo dos, o mas intervalos de DC , i en otra linca del mlfmo ángulo en B , otros tres de ABjtiradas por dos de ellosEG,DH, íé hallará el punto del concurfo O. f <?r Arkhmetíca, Tirada la paralela FA,m Ido h línea

4i.

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..5.^ A

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'.'.ni-.-

GfiOMETRIA. FAjCD, í fcan 41. 100. 1^0. Digo tora , como CF á FA 100. afsi CD 160. áDO, que fera ^66.

y j I £■«/) * ¿/tf/ puntos dados hallar otros dos en linea. De los puntos dados AB j tircnfe los arcos , i decufaciones CD; defde donde con interralo menor fe tiran los OQ^, cuyas fecciones eftarán en linea con los dos puntos dados. Lo mlfmo fe confegulrá , fi fe piden puntos exteriores á los dados, tomando mayor abertura, ó intervalo mayor.

^<¡6 Por dos puntos poco di/i ante t tirar una reíia exaílamente. De los puntos AB , hechas las decufaciones CD, defde ellas tirenfc las EF,con dos aberturas de compás, i darán lindes á la regla para tirar exaftamente la linea.

^57 Hacer un circulo que pajfe por tres puntos. Tirenfe dos lineas de punto á punto, PQR , i divldanfe por metad con perpendiculares ; el concur^- fo de eftas O, ferá centro del circulo que fe pide. Si fe pide un circulo que paffe por dos puntos, fe hará con cualquier abertura de compás , como fea mayor que la metad de la diftancla de los puntos, tirando una decufacion,que fera centro. Si fe pide el centro de un circulo , feñaicnfe en la circunferencia ciíalefquiera tres puntos.

^j8 Formar ¡a linea e/piral. Dividafe la linea OM en las partes que fe quiera, v.g. 10. i del medio á la parte imcdiata dividafe en dos partes : hecho alli centro fe tiran fcmicirculos á la parte de arriba , i luego de R á la parte de abajo, con los iotervalos al temados , coiro/c ye.

fHL

Practtca, 29

$. III.

Lineas en el circulo.

AUnque en las Tablas Trigonométricas eftá todo calculado , doi aora algunas breves reglas , para que no teniendo las Tablas á mano, pueda reíblverfe uno, ú otro problema que fe ofrezca.

El femidiamctro, ó radio CGjó CA es fcno todo.

DE fenoj v.g. de 30, grados : DH feno de fu complemento, que es de 60. I aisi, uno refpeto de otro es leño primero, ó feno fcgundo.

FG tangente de 3o.grados. AB tangente de legrados, ó tangente primera, i fegunda,

CF fecante primera: CB fecante fegunda.

DI cuerda de ío.grados, que es el feno doble de 30.

EG fagita, ó feno verfo, efto es, fagita de 60. grados, 1 ferá lo que refta del radio todo , quitando el leño de éo.grados.

Entre el feno refto CE, I el verfo EG , efto es, umbra refta, i umbra verfa hacen un feno todoj i afsi fe comparan por los ángulos que hacen en el centro,! en la circunferencia.

f$9 Conocida una cuerda , fe/abra otra de fu complemento. Suponcfe conocido el diámetro 1000. la cuerda fio. Del cuadrado diámetro loooooo. reftefe el cuadrado de la cuerda fabida 47040o. I quedan 735ÍÍ00. fu raiz cuadrada 9<¡6. ferá cuerda del complemento.

5^^o Sabido el feno primero ED, faber el feno fegundo DH. Del cuadrado del femidiametro reftefe el cuadrado de DE, la raiz cuadrada de la refta ferá DH. Con efto fe fabe la fagita EG; que es lo que va de HD, á CG, ó radio todo.

f 61 Sabido el feno de un arco , faber el feno del are» doblado. Como el radio CG al feno del arco dado DE afsi el doble de DE, i faldrá el feno que fe bufca.

f (íi Hallar cualquier tangente. Bufeo ¡a primera tangente GF, fabido el radio,i el feno DH, diciendo como CE, á ED, afsi el radio CG, a GF. Bufeo la fegunda BA, como CE al radioj aíii el radio á BA.

í^3

3© Geometría.

f (^3 Hallar cualquier [erante. Bufeo la fecante primera CFj como CE á CD, afsi CD á CF. Bufeo la fecante fcgunda BC, como DE á CG, afsi CG á AB.

^6^4 Hallar cualquier fazjt a EG: como FG á GC, a fsi DE á EC, que reftado de CG quedará EG.

^6<y Hallar cualquier perpendicular a la cuerda. Sabefe el feno, v.g.DE, del complemento de la metad del arco propuefto DGI, 1 de fu cuerda DI, que es DH, feno del arco DA, i es íqual á ECi luego la perpendicular CE al lado DI 3 es igual al feno del complemento DA.

^66 Con eílos datos fe fabrican las Tablas de Senos Tangentes, i Secantes-^ porque ti feno iodo , o radio fe fupone dividido en millones de partes ; i es cuerda de éo.gradosi la metad es feno de jo.grados. El feno de la metad de un arco es medio proporcional entre el femlradio, i el feno verfo de todo el arco.

Las tangentes, i fecantes fe hallan por las fupoficíones antecedentes. Defpues fe agregan los logarithmos, que inventó Qiieplero , para el atajo de hallar fumando, i reftando por ellos , lo mlfmo que multiplicando , i partiendo por los números limpies. jj. IV. Calculo Trigsnometrico.

^6j T As Tablas fabricadas con la prollgidad dí-

J / cha , íirven principalmente para la refo-

lucion de los triángulos; i porque facilitan muchas operaciones , i no devo privar de ellas al Letor que no las f\^ ^iere a mano , daré anticipadamente las que aora le bailan , i pueda defpues copiar en la Pantómetra, como diré. Mayormente, que fendo mi deílino facilitar el ufo de las medidas ufuales : i no aviendo ¿z. tratar de la Aftronomia. Náutica, i otras Ciencias, que piden el 'arbitrio que fe halla en el expedito Canon de la Trlgonometria Logarithmica, efcufo eííe efl:udio,con dar los medios fufcientes, i fáciles para todo cuanto fe pueda ofrecer en el apunto , en orden á triángulos : i llrven afsimifmo las Tablas que voi a dar, para otras muchas operaciones, cojno deArquitedura Militar, i Civil, Gnomonica, Geodelia, &c.a cuyo fin he procurado (jue vajean exa¿las,i correítas.

Practica. jt

%6Z Cuerdas del circulo hafla i^o* gra^ dos yfemidiametro loooo.

^3i

P772

12104 14202 i¿

5P. P848

75.12174

91. 14264

107. H

PP24

60, lOOOO

j6, 123 12

p2. 14386

108. I(

61. loi 50

77.12450

93. 14506

lOp. 1

62, lOjOC

78. 12586

94. 14626

I 10. 1

IOJ74

l^6S6

6¡, 1044c

7P. 12720

95. 14744

III. I

^4. 10598

So. 12854

96. 14862

[12. I

I2p22

6$. 10744

81. I2p88

97. i4í^7^

IIJ. 1

1 08 Ib

^6. io8i?2

^2. I312O

98. 150P4

I 14. I

I op5^^

1515c

^7. 110^^^

33. 13252

99. 15208

115. 1

1 1 1 r (

i3ií^

^8. 11182

34.13382

100.15320

I 16. I

^p. 1 1 j 2 8

85.13510

loi. 15432

I 17. I

IIj9^

154^6

70.1147c

36. 13638

102.15542

118. 1

I1542

i5 5í?6

7i« I i<írz!

87. 13766

103.15652

IIP. 1'

II<584

1570^

72. 11754

88.i^8p2

104.1576O

r20e I

1 1826

1395^'

73. 17896

8p. 1401?

105. 15866

121. 1

I lp66

1408 c

74, I20j6

90* 14141

ÍO6.15P72

122. I

123.17576

l']6i6 124.17558

I7¿>98 125.17740

12^.17820

I27.178PS

lypjd 128.17P74

1801 2 129.18050

130.18126

181^2 131.18198

132.18270

18^06 133.18340

134.18410

135.18475

135.18542

1857'^ 137.18^08

[38. 18670

13^.18732

[40.18792

141. 18852

142.18910

l8p3 8 143.18966

i8p92 144,1902c

145.19074

1 91 00 146.19125

1 47.1 9 17^

1920C 148.19224

153.19446

r 54.19486

155.19524

156.19562

Í57.195P8

1 96 1 4 I58.i5>632

r 59.19564

160*19696

[5i .19724

I97i? 162.19752

19-] 66 163.19780

149.19272 154.19804 19294 19815

168.19890

159.19905

170.19922

19P30 171.1993^

172.19950

I99j6 17^.1996^

19966!

[74. 1 997 i.

1991 a 175.19980

175.19985.

19990Í 177.1.9992!

199P4 178.19995;

19997,

179.19998

150.19J 18

151.19352

152.19404

165.19828 180.2000» 19840I ^

155.19850

157.19870

%<^f

^69

Gr.Senós.

4- 5-

i6j

6p7

9í8

13^1

5». 15ÍÍ4

16^0

10. 1736 i8zi

11. iS'oS

15(93 XZ. 207í>

21^4

«3. ZS45>

^334 14. 2415»

xy. 2588

i<^. 175?

17. 192.3

18. 30^0

Senos Tangentes , / fecantes

Semidiámetro loooo.

Senos. \ Tang.\Secanr

3^73 19' 3M5

Tán^.i Secant, 87 I loooo

174 ! lOOOI

261 10003 34^ 1 10006 436 I lOOOj?

JZ4 ; 100 I 3

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1^73 ' I7í^3

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1 00 3 8 10075 I 10086 j

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