Unidad 16 · SB 5^1. SB S40.

SB 5^1. SB S40.

A 594. D 8i?o,

SB 6z9. SB 5J43.

G 667. C loQft»

j5B — 707.

§. XT.

Ufo de la Tantomeíra.

POrquc mi genio es no molcítar al Letor , antcsbíeft da- le cebo a! difcurfo , i pafto á fu aplicación , fo!© iníinuare las principales operaciones de la Pantometraj que fon tantas , que fe eílicndcn dcfde los principios do la Arirhmetica en todas fus reglas, haíta lo mas intrinc.i- ¿G de fu analicica como íís facar tai».©*;; i en la Geometria

igual-

78 Geometría

igualmente no al problema que no pueda rcfolvcrfc c6n igual facíüdad. No multiplico egemplos que cada cuaí fe puede propoaer para cíludio , i egcrcicio j como también advertencias que el diícurío, I la ocafion las infiere: pues co:iio no es fácil prevenirlas todas al que es tardo, jnoleftan al cjue es un tanto advertido* Linea de partes iguales.

Caoí? TEl fumar, i reflar cualefquiera números entero», i cortos en el pitipié que hace cada linea en el brazo de I2 Pantómetra, ciue fupongo dividida en mil partes , es fácil ríe entender , pues paray^w,??-, v.g, -^6. 48. izo. 40. añaalendo al 36* deíde el centro las aberturas 48.1 10.40. terminaran en 244. c|ue es la fuma. Para rcftar , v.g. og, de 340. baila tomar 96. I poner la punta del compás, defde 340. acia el centro, i la otra punta caerá en 244. cjue es la refta. Para ;«?í/í7/j.'/V«rj v.g.:o. por 48. tomo la abertura de 20. i abriendo la Pantom.etra de 10. a 10. i íi no bafta de 100. á 100. abro el compás de 48. á 48. i feñala 5?(?. que añadiendo tantos ceros como fingí en el primer termino, Icrán 9(ío. el produjo. Para el par; ir , en el mlfmo egemplo 960. á 48. tomo 10. con el compás, i abro de 48. a. 48. veo de 960. a 960. que feñala, i hallo 200. que quL# tando un cero, ferá 20. el cociente.

^"207 Dividir una re¿Ja en partes ¡guales. He de divl* álr la recrea en 12. partes. Tomóla con el compás, i abro la Pantómetra de 12.a 12. ó de izo.á izó. ó de 48.348.6 cualquier nuniero que tenga dozavo ; i pueíla afsi, pongo las puntas de 10. á 10. fi tomé de 120.a 120. i tendré la ¿ozava parte.

f 208 Tomar mal e/quiera partes de una re¿la. He de Jomar 70. partes de ifo.Abro la pantómetra de 150.a 150, con la diftancia dada, i cierro el < ompas de 70.a 70. i ferán las partes que bufeo. Si 1. linea fuere mayor que I9 de la pantómetra, dividafe por metad, tercio, cuarto,&c.

^209 Dividir una reEia en la proporción que lo c/í4 etra. Tomo la abertura de la dividida, v.g. 50. i veo la que feñala; abro la pantómetra con las partes de la no di* vidida de 50.a 50. i en las que pinta la divilion , v.g. 31, hallaré traafverfalmentc la dlvihon de la otra.

Ja I o Redimir un» fl^aua de mayor a menpr.d alcoi^

tra-

Practican ^ 79

tfario. Quiero fcducir una plañía ¿e Arquíteiftura Militarlo Civil, de Geografía, &c. de las 7. partes a las 3. eílo es de 70.a 30. Tomo cualquiera linca de las de la planta Jiecha, por las q he de comenzar,! abro con ella la pantómetra de 70.a 70. puerta afsi, cierro el compás de 30.a 30. i ferá la linea corrcfpondiente en la planta nueva. Dexnancra,que puerta, ó abierta aísi la pantómetra, tendré el pitipié, 6 pitipiés de entrambass.pues tomando cualquier linea de la primera planta, fin abrir, ni cerrar la pantómetra, viendo donde feñala , hallaré de través la linca proporcional para la fegunda.

f 11 1 Hallar la circunferencia dado el diámetro , ó al tontrario. Porque la linea de la pantómetra fupongo divitllda en 1000. partes, tengo un í'eñal a las 3 17. por nota de diámetro. Un diámetro tiene 50. palmos, cplero faber los que tiene la circunferencia j tomo la abertura de 50. en las partes iguales, i abro la pantómetra en el diámetro , 6 feñal de el, que es a 317. i puerta afsl abro el compás de looo.á 1000, i veo que me da i 57. en las partes iguales.Si fuere al contrario, cjue fe duda del diámetro, obro al contrario.

^111 Hallar la linea de circunferencia tj encierra un¿t cuerda. Las cuerdas miden los grados,! á eftos la clrcunferenciaji afsl á -proporción de los que correlpondcn ferdf la circunferencia. Una cuerda tiene 70.gr.en circulo, cuyo diámetro es 40. palmos. Hallo la circunfcrcocia del modo dicho, i ferán 116. cuyi mitad es 63. Tomo (^3. en la pantómetra, labróla de 180. á 180. que fon los grados de la femicircunfcrencia,! puerta afsi, cierro de 70.a 70.elcom-« pás, i veo que caben 21. i ertos fon los palmos cjue tcuy dra la cuerda.

5^113 Hallar un tnedio proporcional. Se han dado 24, X ^6. I fe pide el num. medio proporcional, tomo 24. i ^6. 1 pongolos en linea reda, paitólas , I tiro el femicirculoj levanto la perpendicular , I veo lo que feñala, c^ue fciaa 48. que ferá medio proporcional.

^214 Hallar tercera, cuarta^ t^c. proporcionales ;¡ i es regla de 3. Si 40. dan ¿^o. qué darán íio. fean lineas , ó números : tomo la primera , y veo que feñala, v. g. 40, tomo la fegúda 60. abro la pantómetra con la abertura 60,

í?o Geometría

de 40.a 4o.'Veo en efQi abertura lo que feñala de ^o.á <<«, 1 fera 90. que es tercera proporcional. Si bufeo el cuarto abierto de 40.a 40.con 60. veo de ^o.a ;jo.lo que ai, i hallaré 115. que es cuarto- Lo miímo hiciera aunciuc nq fueran continuamente proporcionales. Linea de Planos.

ífaiy Aumenti'fr, 1) cUpyíimih' cualquier figura. Quiero diíminuir el circulo exterior en un tercio, tomo el dia-- metro, ó el íbmidiametro, i abierta la pantómetra de 3.a 3. en los planos, cierro el compás de 2.a z. i ferá diámetro, ó femidiametro del circulo, q tendrá un tercio menos. Lo miímo Le hará con un cuadrado , u otra cualquier figura, aunque fea irregular, tomando los lados fcmejantes, 1 haciendo femejante la figura.

Afsi le facará la parteji fe aumentará en tercio, cuarto, doblej&c. i fe reílará,como conviniere. Si no fe aiuíta, ó llega á la pantómetra , fe toman partes proporcionales de los lados.

f"ii 6 Hallar la yax.()n de dos figuras. Tomado el dia-» metrO;ó lado femejante de una, i de otra , veo en las partes que fe ajuftas como abierta la pantómetra, i pueílo eí menor lado de 10. a 10. veo c^ne el otro viene de 30.a 30. i digo que eftán en tripla , eflo es, que es tres veces mas capaz la una que la otra.

fii7 Hallar la raiz. cuadrada. Abrefe la pantómetra de líí.en 40. porque es medio el 40. con el 100. eftoes> 40.de !a Arithmetica, en I ¿^. de los planos. Quiero facaí la raíz cuadrada de 46^30. quito los dos números, i quedan 46. Pueda la pantómetra, abro de 4(í.á 46. en la línea de los planos, o geométrica,, veo que feñala 68. en Ij^ Arithmctica, i eíía ferá laraiz cuadrada.

f zi8 Hallar unt media propcrcicnal. Sean los nume* ros,o lineas dadas 7,6,1 16. to-ro del pitipié, ó de la linea de partes iguales ^6. con el compás , i abriendo la panto^ metra de 3^. á 315. en la linea de los planos, cierro el comt pásde i6.á lí.en ellos, i hallaré en el pitipié 24. por li# nea,o numero medio proporciona!.

^^^') Hallar la arta de un fegrnento de circulo. Quiero medir un fegrnento , qi:e tiene 6. dedos de bafe, cfko es, doble fcno, © cuerda ; i porc^ue eito$ fon propor-

cio-

Practica; 2{

Clónales con el diámetro , hallóle por ía cuerda , ó feno (6^) i fea ocho dedos , tomo 8o. en las partes ¡guales , i abro la pantómetra en los polígonos de radio á radio , i

Íjucfta afsi , abro el compás de 4. á 4. i lo que féñala en a linea de partes iguales, v.g.i 18. multiplicó por si, i Cerán los dedos de área del femiclrculoi efto es,i3<7, quitados dos números , porque anadi un cero. Para íaber lo que tlend el fegmeato, con la abertura que hallé de 4.3 4. abro la pantómetra en los planos de 8. á 8. i puefta afsi, veo lo que fcñala de 6. a. 6. i fon 101. que multiplicados por SI, dan 10404. I quitados dos nilmeros es 104. la área ¿el fegmento. GalileoGalilei trae,pag.53. trabajada tabla haíta 40.fcgmentGS , que por de menos ufo omito ; i podrá fácilmente el Letor calcular la de figuras que mas le conviniere, ó fueren aplicables á fu egerclclo. Linea de polígonos. Si es én campaña fe obra por pitipié , 1 fe forma cor» facilidad cualquier figura ác $. 6. 6 mas lados, dando las lineas que feñala en pies, ó pafibs la pantómetra, 1 los ángulos de la tabla 81.1 por la linea de cuerdas, que fupongo en la pantómetra^ ó por las de la tabla 68.

f 220 Dado el lado, hall/ir el radio. Es el lado, v. g, looo.ples. tomanfe loo. de partes iguales con el compás, i fe acomoda, fi es del eptágono de 7. á 7. 1 cenando el compás de 6. á 6. feñala los pies para el femidiametro, añadiendo un cero.

En la mifma tabla 8r. fe hallará la perpendicular del centro al lado, 1 por el mlfmo pitipié fe formará ía figura en la campaña, en la pizarra, ó en el papel.

5^221 Dado el radio, hallar el lado, Tomafe el radío, í fe abre la pantómetra de 6. á í. i puefta afsi fe halla el lado que fe quiere de cualcjuier polígono. Linea de ctierdas,

^2 2 2 Hacer un angido de los grados que fe quiera. So« bre una linea quieto hacer un ángulo, v.g. de 47. grados, tomo cualquier ;ibertura, i levanto un arco, con ella abro la pantómetra de 60. 3.60. i puefta afsi cierro el compás de 47.a 47. 1 con eííe intervalo feñalo en el arco , i hará el ángulo que fe bufca. SI quihere operar fin tirar arco, |>uedo líacerloj ó por efta linea de cuerdas, ó por la tabi'a

JF de

$2 Geometría

de Ceños , porque tomando la diftancía del femídíamctro defde el centro en dos partes, con la diftancía de la cuerda de tales {grados puedo coequar los eftrcmos : 6 levantando una perpenpicular a un eftremo, darle los paíTos, o pies correfpondientes al feno de tales grados , fegun la tabla 6^.

5223 Saber los grados de ct'.aíqukr ángulo 4¡^do. Hechas las lineas, tirado el arco , i abierta la pantómetra de ¿ío.á 60. veo ¡a cuerda donde fe ajufta , i fera de los grados correfpondientes. Lo miímo íc íabrá por el feno.

^224 Formar cua!ej}¡mera figuras regulares. Las figuras fe forman por la tabla 81. fegun los ángulos ,i las lineas que tienen , i afsi fe toman las lineas de las partes iguales, i los ángulos por las cuerdas de cfta linea^ como íe ha dicho antes.

^12 f R'filver un triangulo para medir dlflancias. Equivale á la refolucion por Trigonometría. Dados la linea, i ángulos, fe forman en el papel por la pantómetra, 1 cerrado el triangulo , fe vé lo que pintan en ella las lineas. Como fabida la diftancía de una eftacion a otra, obfervados los ángulos con el triangulo filar fobre el mífiTio papel, fe cierra el triangulo, í le vé lo que fon las líneas en la pantómetra , que firve de pitipié. Sí fe acomodan unas pínulas en ella, fe logrará el míüno fin que con ei cuadrante, ó femícírculo, en elfa , i en otras operaciones de campaña.

Figuras ¡guales.

^2 2í Hallar la fuperficie de cualquier figura. Es un pentágono, cuyo lado es 30. pies-, tom.o la abertura de 30. en las partes iguales , i abro la pantómetra en la línea de figuras iguales de ^.á 5. Puefta afsí, abro de 4. a 4. í feñala 39. multiplicóles por si, i ferán i 521. los pies cuadrados que contiene la fuperficie del pentágono.

^227 Dada la fuperficie de la figura que f¿ quiere, ha-. llar el lado. Dada la fuperficie, faco la raíz cuadrada , i ferá lado del cuadrado , abro la pantómetra con ellas de cuadrado a cuadrado, í puefta afsi tomo el lado de la figura que fe pide.

^228 CoHue>-íir i'.na figura en otra. Tomando el lado de la figura dadaj v. g. triangulo, i abriendo la pantómetra

Practica; 2^

tra de 3.a 3. eftará difpuefta para dar el lado de cualquier otra figura.

^iz9 Dadas diferentes figuras regulares, y defemejan-^ tes i hallar otra igual a todas. Se hacen femejantes por la reducioii de los lados , i luego fe fuman por la linea de planos. Es un cuadrado q tiene 40. dedos de lado, un circirculo que tiene )-o.de díametió , un pentágono que tiene 60. Tomo 50. i abro de circulo á circulo, i veo lo que ai de 4.a 4. i Ton 45. Tomo 60. I abro de 5.a 5. Í veo lo que ai de 4.a 4. i fon 80. Cuadro cada numero, fumo los cuadrados, i ferá el cuadrado igual á todas : 6 comparole en la linea de los planos dobles.

5^1 30 Hacer una figura regular igual a otras regulares^ Medidas las fuperficies fe hará una figura regular , reduciéndola cada una á cuadrado , i luego fumando los cuadrados. Linea de fcl':dos.

Cz3i Aumentar-, ó difminuir cualquier cuerpo. En un vaío cilindrico, en que cabe una libra de agua, quiero otro q quepan tres, i tiene cuatro dedos de alto, i tres de ancho, tomo la anchura, i pongola en los foiidos de uno á uno, abriendo la pantómetra, i puefta afsl veo de 3.a 3. lo ancho que ai , i elfo ha de tenev el vafo , dándole 4. terceras partes como t^nia, de alto. Al contrario fi fe han de dif nlnulr. Lo mifmo vale en cualefquiera foiidos , fean cubos, conos, prifmas, i demás, como fean femejantes, efto es, de lados proporcionales;! fe reliará uno de otro con la mifma facilidad.

%^'^,^ Sumario juntar en uno muchos foiidos femejantes. Una bala, o folido de 3. libras, otro de 4.1¡br. otro de y.libr. fumo, i hacen 14. abro la pantómetra de 3. á 3. con el diámetro hallado; o de 4,á 4. i -puefta afsl, tomo la dlftancia de r4.á 14. i ferá el diámetro tjue fe bufca.

^133 Hacer cualefquiera calibres de cualquier metal^i pefo^ para los Artilleros: ó efcala para los Campaneros. Sabido el diámetro, ó lado de cualefquiera calidad de foiidos que quiero aumentar, tomo aquel diámetro, 1 abro la pantómetra, de i.á i. ó en aquel pefo que pinte , i paella afsi, dará de z.á z. de 3.a 3. ¿ce, todos los dIamcrros,ó lados, acia abajo, ó ázia arriba. Afsl fe harán calibres d« •nzas, libras de lí.onzasj arrobas, &c,

Fa 5234

S4 Geometría'

fz34 Hallar la raíz cxbica de una cantidad. He dé facar la raíz cubica de 8ozi6. Preparo la pantometrajtomando 40. de )a linca Arithmetica , i abriendo la pantometra con eíTas partes de 64. á 6^. en los folldos , quito tres guarifmos á la cantidad , i quedan 80. tomo 80. en la linca de lo-ifolidos tranfverfalmente, i veo que feñala 43. en la Arithmcticaj I efta es la raíz cubica. Si no llegafle en la linea cftereometrlca , puede tomarfe metad, cuarto, &c.

f 1 3 j Hallar da medias proporcionales. Sean dadas dos lineas eftremas, ó dos números, en que fe bufcan dos medio'; proporcionales,! fean 108. i 32. tomo la abertura He 108. i abro la pantómetra de 108. á 108. en los folidos, i cerrando el compás de 3t.á 31. en los mifmoj , hallaré 72. en el pitipié para la linea fegunda. Para la tercera, tomo los mifmos ya. i abro la pantómetra de 108. á io8. i de 32.a 32. hallaré 48. por tercera proporcional.

^236 Hallar la proporción de dos foíidos fcmejantef. Bafta medir un lado de cada foüdo femejantes , i ver lo que íeñalan én la linea de los folidos; ó por si, ó por pitipié, fegiin fean. Es un cubo de un palmo , que sé que peía una arroba , i quiero faber lo que pefará otro de tres palmos. Tomo li. partes iguales, que fupongo dedos , \ abro la pantómetra de i.á i.en los folidosj puefta afsi, tomo en partes los 3^.dedos de el lado del otro cubo, i veo que fe ajuftan en los folidos de 27. á 27. i tantas arrobas diré que pcfa el otro cubo.

Linea de cuerpos iguales, ^237 Dado cualquier foüdo , hallar el lado de otr» cuerpo i gu al. Voro^wt en la pantómetra eftán los cinco cuerpos , i pueden añadlrfe, v.g. el cono, el cilindro, i otros infcriptibies , ó no infcriptiblcs , pero con la proporción que convenga .1 quien huviere de ufarde eliosjdoi>egéplo en los cinco , para que Te infieran los demás. Si el íolido dado, 1 el otro en que le he de convertir fueren de los pueftos, i acomodados en la pantómetra, fe comparalado con ladojcomo dada una esfera quiero un cubo igual, abro la pantómetra con el diámetro de esfera á esfera , i puef- . ta afsi, abro el com^^iás de cubo á cubo , c|ue ícrá igual 3l la esfera. He medido la foiidéz de un cilindro, i hallado-

Practica: Sf

¿ole 1728. dedos cúbicos, i quiero hacer flna esfera Igual; faco la raíz cubica, i fon 12. tomo i ¿.partes, ó contraldajBente 12. dedos con el compás, abro la pantómetra de cubo á cubo, i pi»efl:a afsi , abro de esfera a esfera, i dará los dedos que ha de tener la de feracjaate folidc?.

ífz^S Hallar la/olidí^ de Z'.uftgruento de esfera. Veo ia cuerda,» bafe que le mide, qué proporción tiene con la cuerda de iSo.grados, > fea el diámetro roo. i la cuerda $0. eftoes, 10. dedos, i 8. dedos. Hallo la folldez de la tsfera por la propoficion antecedente, abriendo con fu diámetro de diez dedos de esfera á esfera, i luego el compás ¿e cubo a cubo, I cubicando los dedos que feñala hallaré la foHdéz que guardo. Para hallar la del fegmento, fupouiendo 8. dedos, cubicólos, i cubicando los diez , diré por regla de 3. como el cubo de 10. al cubo de 8. afsi el que guardé al cubo que faldra, que es el de el fegmento. Afsi íe medirá con facilidad , i brevedad la folidcz de una bóveda, li ol!a de horno , facando la folidcz del vacio interior; i podrá contracrfc el Artífice la regla á aquellos foliaos de que tenga mas ufo, con la fupoíiclon de que íiendo fcmejantes guardan la proporción de los cubos de los lados femejantes, fea diámetro, perpendicular, &c. i íiendo femejantes los cuerpos, i teniendo uno conocido, ó medido, atmque no fean regulares, podrá conocer, o medir,au-. naentar,ó difminuirlos por la linca de folldos. Metale!.

5"i39 Dado el lado de un /olido, faber fu pe/o. Tengo conocido, v.g. el pefo del hierro, que una bala de una libra de 1 2. onzas es fu diámetro, la quinta parte del palmo Valenciano, i en la pantómetra fon 5 7. partes: me dan una bala de hierro que tiene 1 14. Tomo las J7. i abro !a pantómetra de I. a I. en los folldos ; puefta afsi abro el compás en 1 14. i veo que fe ajuíla de 8. á 8. en los foiido$, Digo que pefará 8. libras.

5^240 Dado el lado de unfolido de cualquier metal, 6 ¡}qititto,hallar el lado de el de otro metal de i^ual pef.Tcgo el diámetro del hierro , i bufeo el de oro de Igual pelo. Abro la pantómetra de hierro a hlerfo con el diámetro íabldo; i puefta afsi cierro de oro á oro, i lera diámetro del olí do de igual pefo. AGi fe hallará el pefo de esfera, ü

otio

^6 Geometría"

0trQ cuerpo dé cualquiera </e dichos frietales : porque fí fuere, v.g. de hierro el de libras conocidasj pueflro el diámetro de hierro á hierro, la tengo abierta para iguales libras de los demás inetalcs.

^241 Dados dss cuerpos de diferentes metales , pero de igual folidez., faber la proporción de fu pe fo. Veo los diámetros lo que pintan en la linea de los folidos, i ella ferá U proporción de fu pefo : v. g. del oro a la plata , tomo lo que ai del centro de la pantómetra aloro,.! veo lo que feñala en la linea de los folidos, i es, y.g. ^4. Tomo loque ai del centro á la plata , i hall© que feñala 1x7. conque digo que tienen femeíante proporción de pefo inverfaméate, eílo es, lo que feñala en la plata tiene de pefo el pro, &c. porque es reciproca la proporción de magnitud, i pefo.

5" 2.4a Hallar el lado de unfoltdo que fe pide de tal metal, i tal pefo. Pidefe el diámetro de una bala de plomo de I ^.libras, tomo el diámetro de una librada hierro, ¡que es la quinta parte del palmo , ú otro diámetro de genero, i pefo conocido. Abro la pantómetra en los folidos (de i. a I. tomo de ij.á ij. i con efla abertura de compás abro la pantómetra de hierro á hierro, i puerta afsi,cierro ¡el compás de plomo á plomo, i ferá el diámetro que fe pide.